有关直角三角形的存在性问题是近年来中考热点题型，一般都是放在平面直角坐标系中和抛物线结合起来考察，这种题的解法套路一般都是固定的，同学们在学习的过程中只需要牢固掌握直角三角形存在的基本模型：两线一圆，多加练习，这类问题就可以轻松掌握。

　　如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．

　　两线一圆得坐标，（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）。

　　重点还是如何求得点坐标，C1、C2求法相同，以C2为例：

　　构造三垂直：

　　C3、C4求法相同，以C3为例：

　　构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．

　　“两线一圆”模型：

　　在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题时，通常是以直角顶点作为分类标准，如下图，分别以点A、点B、点M为直角定点来构造直角三角形，然后根据相关条件来进行求解即可。具体有以下三种情况：（1）过点A作直线AM垂直AB，交x轴于点M；（2）过点B作直线BM垂直AB，交x轴于点M；（3）根据直径所对的圆周角为90度，以AB为直径作圆，交x轴的点即为满足条件的点M（一般情况下有两个交点，特殊情况下只有一个交点），然后根据相关条件来进行求解即可。

　　例1.如图，正方形ABCO的边长为√5，O为原点，BC交y轴于点D，且D为BC边的中点，抛物线y＝ax²+bx+c经过B、C且与y轴的交点为E(0，10/3)：

　　（1）求点C的坐标，并直接写出点A、B的坐标；

　　（2）求抛物线的解析式及对称轴；

　　（3）探索在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

　　解析】（1）过C作CF⊥x轴于F，在Rt△OCF中，易证得∠OCF＝∠COD，则它们的正切值相同，可得CF＝2OF，再根据勾股定理即可求出OF、CF的长，由此可得C点的坐标；同理可求出A、B的坐标；C（1，2），A（﹣2，1）、B（﹣1，3）．

　　（2）根据已经求得的A、B、C的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式为y＝﹣5/6x ²-1/2x+10/3，对称轴为直线x=-3/10；（3）若△PBC是直角三角形，存在三种情况：

　　①∠PBC＝90°，则P点必为直线AB与抛物线对称轴的交点，可先求出直线AB的解析式，联立抛物线的对称轴方程即可求出P点的坐标；

　　②∠PCB＝90°，则P点必为直线OC与抛物线对称轴的交点，方法同①；

　　③∠BPC＝90°，可以BC为直径作圆，那么P点即为圆与抛物线对称轴的交点；可过D作抛物线对称轴的垂线，设垂足为M，连接DP，根据抛物线的对称轴即可得到DM的长，而DP是圆的半径即1/2BC长，在Rt△DPM中，即可用勾股定理求出PM的值，进而可求出P点的纵坐标，而P点横坐标与抛物线的对称轴的值相同，由此可得到P点的坐标．

　　

　　例2.如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1,0），C（0,3）．

　　（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

　　（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

　　（3）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

　　解析：

　　

　　

　　例3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣1/2x ²+bx+c的图象与直线y＝﹣ x+3交于A、B两点，且点A在y轴上，点B的坐标是（4，1）．

　　（1）求抛物线的函数解析式；

　　（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C．

　　①求点C的坐标；

　　②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出此时PA+PC的值；若不存在，说明理由；

　　③除点C外，在坐标轴上是否存在点Q，使得△QAB为直角三角形？若存在，直接写出所有能使△QAB为直角三角形点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

　　【解析】（1）先由y＝﹣1/2x+3，可得与y轴的交点A的坐标，再把B（4，1）和A（0，3）代入y＝﹣1/2x ²+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的函数解析式；

　　（2）①设直线AB与x轴交于点D，则D（6，0），由△AOC∽△DOA可得，OC＝3/2，即点C的坐标为（﹣3/2，0）；

　　②由抛物线：y＝﹣1/2x ²+3/2x+3，可得其对称轴为直线x＝3/2，设点A关于x＝3/2的对称点为A′（3，3），连接A′C交直线x＝3/2于点P，根据轴对称的性质和两点之间线段最短可知，此时PA+PC的值最小，即△PAC的周长的值最小，运用两点间的距离公式求出A′C的长度，即为此时PA+PC的值；

　　③分两种情况：

　　（i）以B为直角顶点时，过B点作AB的垂线与x轴交于点Q₁，与y轴交于点Q₂，

　　易求直线BQ1的解析式为y＝2x﹣7，所以Q₁（7/2，0），Q₂（0，﹣7）；

　　（ii）以Q为直角顶点时，以AB为直径作圆交x轴于Q₃，Q4，与y轴交于点Q5，

　　以AB为直径的圆的方程为（x﹣2）²+（y﹣2）²＝5，

　　当y＝0时，x＝1或3，所以Q₃（1，0），Q4（3，0）；

　　当x＝0时，y＝1或3，所以Q5（0，1）．

　　综上可知，所求点Q的坐标为：Q₁（7/2，0），Q₂（0，﹣7），Q₃（1，0），Q4（3，0），Q5（0，1）．

　　例4.如图，抛物线y＝x²﹣4x﹣5与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

　　（1）求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴．

　　（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上一点，且2＜m＜5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值．

　　（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

　　【解析】（1）分别令x＝0和y＝0代入抛物线的解析式中，可得A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），可得对称轴x=2;

　　（2）根据矩形周长公式表示四边形EHDF周长，并根据二次函数的顶点式可得四边形EHDF周长的最大值；

　　如图1，∵E（m，n），且2＜m＜5，∴E在第四象限，

　　∴EF＝m﹣2，EH＝n＝﹣m²+4m+5，

　　设四边形EHDF周长为W，

　　则W＝2（EF+EH）＝2（m﹣2﹣m²+4m+5）＝﹣2m²+10m+6＝﹣2（m﹣5/2）²+37/2，

　　∵﹣2＜0，∴当m＝5/2时，四边形EHDF周长的最大值是37/2；

　　（3）分三种情况：

　　①当∠CBP＝90°时，如图2，根据△PDB∽△BOC，列比例式得：PD＝DB，可得结论；

　　②当∠BCP＝90°时，如图3，根据△PCG∽△BDG，则CG/PG=DG/BG，可得PG的长，从而写出P的坐标；

　　③以AB为直径画圆，交对称轴于P ₁、P ₂，如图4，根据△P ₁DB∽△CHP ₁，则P ₁D/BD=CH/HP ₁，列方程可得结论．

　　综上所述，点P的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，﹣6）或（2，1）．

　　两线一圆模型破解一类直角三角形压轴问题策略如下：

　　策略：（1）两线一圆作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．

　　步骤：①先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；

　　②找点：当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下：

　　a．当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；

　　b．当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；